درسنامه آموزشی فصل دوم هندسه (1) کلاس دهم علوم ریاضی
درس 3: تشابه مثلثها
در سال گذشته با مفهوم تشابه و چندضلعیهای متشابه آشنا شدید. در اینجا میخواهیم دربارهٔ تشابه مثلثها، بیشتر بدانیم. با توجه به تعریف تشابه چندضلعیها، دو مثلث $ABC$ و $A'B'C'$ متشابهاند؛ اگر و فقط اگر زوایای آنها هماندازه و اندازههای اضلاع آنها متناسب باشند:
$\angle A = \angle A'$
$\angle B = \angle B',\,\,\,\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{AC}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} \Leftrightarrow \Delta A'B'C' \sim \Delta ABC$
$\angle C = \angle C'$
نسبت اندازههای اضلاع نظیر هم در دو مثلث را نسبت تشابه میگوییم. مثلاً اگر $\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{1}{2}$ باشد و اندازهٔ اضلاع مثلث ${A'B'C'}$ نظیر به نظیر نصفاضلاع مثلث $ABC$ باشند، گوییم مثلث ${A'B'C'}$ با مثلث $ABC$ با نسبت تشابه $\frac{1}{2}$، متشابه است.
سؤال: مثلث $ABC$ با چه نسبت تشابهی، با مثلث ${A'B'C'}$ متشابه است؟
قضیۀ اساسی تشابه مثلثها
اگر خط راستی موازی یکی از اضلاع مثلثی، دو ضلع دیگر (یا امتداد آنها) را در دو نقطه قطع کند، مثلثی با آنها تشکیل میدهد که با مثلث اصلی متشابه است.
$MN||BC \Rightarrow \Delta AMN \sim \Delta ABC$
1- زاویههای $\angle M$ و $\angle N$ به ترتیب با زاویههای $\angle B$ و $\angle C$ برابرند. چرا؟
2- با توجه به تعمیم قضیهٔ تالس تناسب زیر را کامل کنید:
$\frac{{AM}}{{....}} = \frac{{....}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{....}}$
3- از (1) و (2) در مورد مثلثهای $AMN$ و $ABC$ چه نتیجهای میتوان گرفت؟
حال با توجه به قضیهٔ اساسی تشابه مثلثها، میتوانیم سه قضیهٔ اصلی را که حالتهای مختلف تشابه مثلثها را بیان میکند (مانند حالتهای همنهشتی مثلثها) اثبات کنیم.
راهبرد کلی ما برای اثبات این سه قضیه، این است که روی اضلاع $AB$ و $AC$ از مثلث بزرگتر، $AM$ و $AN$ را هماندازه دو ضلع نظیر ${A'B'}$ و ${A'C'}$ جدا، و ثابت کنیم $MN$ موازی $BC$ است.
قضیه 1: هرگاه دو زاویه از مثلثی، با دو زاویه از مثلث دیگر هماندازه باشند، دو مثلث متشابهاند.
$(\hat B = \hat B',\hat C = \hat C' \Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta A'B'C')$
اثبات: روی ضلعهای $AB$ و $AC$ پارهخطهای $AM$ و $AN$ را به ترتیب هماندازه با $A'B'$ و $A'C'$ جدا میکنیم.
1- $\angle A + \angle B + \angle C = \angle A' + \angle B' + \angle C' = {180^ \circ }$ و $\angle B = \angle B'$
و $\angle C = \angle C'$ بنابراین $\angle A = \angle A'$
2- $\angle A = \angle A' \Rightarrow \Delta AMN \cong \Delta A'B'C'$ و $AN = A'C'$ و $AM = A'B'$
$\angle N = \angle C'$ و $\angle M = \angle B'$ و $ \Rightarrow MN = B'C'$
3- $\angle B = \angle B' \Rightarrow \angle M = \angle B \Rightarrow MN||BC$ و $\angle M = \angle B'$
4- طبق قضیهٔ اساسی تشابه، $\Delta AMN \sim \Delta ABC$ و در نتیجه: $\Delta A'B'C' \sim \Delta ABC$
قضیه 2: هرگاه اندازههای دو ضلع از مثلثی با اندازههای دو ضلع از مثلث دیگر متناسب باشند و زاویۀ بین آنها، هماندازه باشند، دو مثلث متشابهاند:
$\angle A = \angle A',\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{AC}} \Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta A'B'C'$
اثبات: روی ضلعهای $AB$ و $AC$، پارهخطهای $AM$ و $AN$ را به ترتیب هماندازهٔ $A'B'$ و $A'C'$، جدا میکنیم.
1- مثلثهای $AMN$ و $A'B'C'$ به چه حالتی همنهشتاند؟ اجزای برابر آنها را مشخص کنید.
2- در فرض مسئله بهجای $A'B'$ و $A'C'$، پارهخطهای هماندازه با آنها را قرار دهید. حال بگویید چرا $MN||BC$؟
3- با توجه به قضیهٔ اساسی تشابه مثلثها و نتیجهٔ قسمت (1) درستی حکم را ثابت کنید.
اثبات: روی $AB$ و $AC$، پارهخطهای $AM$ و $AN$ را به ترتیب هماندازه $A'B'$ و $A'C'$ جدا کنید.
1- در فرض به جای $A'B'$ و $A'C'$ مساویهای آنها را جایگزین کنید و سپس بگویید چرا $MN||BC$؟
2- از قضیهٔ اساسی تشابه، چه نتیجهای میگیریم؟
3- تعمیم قضیهٔ تالس را در مثلث $ABC$ بنویسید. از مقایسهٔ این تناسبها با تناسبهای فرض، نتیجه بگیرید:
$MN = B'C'$
4- مثلثهای $A'B'C'$ و $AMN$ به چه حالتی همنهشتاند؟ از اینجا درستی حکم را ثابت کنید.
مثال: مطابق شکل زیر، یک تیر (دکل) انتقال برق به ارتفاع 21 متر در اثر وزش باد خم شده است و در موقعیت جدید، نوک آن از زمین 18 متر فاصله دارد. میخواهیم با قرار دادن یک تیر فلزی به طول 15 متر، عمود بر آن، آن را بهطور موقت سرپا نگه داریم. پای این تیر فلزی را باید در چه فاصلهای از پای تیر انتقال برق محکم کنیم؟
حل: اگر تیر برق را با یک پارهخط و تیر فلزی نگهدارنده را نیز با پارهخطی دیگر مشخص کنیم، شکل زیر را دوباره رسم میکنیم.
حال در دو مثلث $ABC$ و $BDE$ داریم:
$\angle B = \angle B,\angle C = \angle E = {90^ \circ } \Rightarrow $
$\Delta ABC \sim \Delta BDE \Rightarrow $
(در نوشتن نسبت تشابه، توجّه کنید که اضلاع روبهرو به زوایای مساوی در دو مثلث را در یک نسبت بر هم تقسیم کنید.)
$\frac{{DE}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{AB}} = \frac{{BE}}{{BC}} \Rightarrow \frac{{15}}{{18}} = \frac{{BD}}{{21}} \Rightarrow BD = \frac{{21 \times 15}}{{18}} = 17/5m$
یعنی باید پای تیر فلزی را در فاصلهٔ 17/5 متری از پای دکل برق محکم کرد.
مثال: در مثلث $ABC$، از نقطهٔ $M$ وسط $AC$، زاویهٔ $NMC$ را مساوی زاویهٔ $B$ جدا کردهایم. اگر $NC = 2$ و $NB = 4$، طول $AC$ را بهدست آورید.
حل: با کمی دقت مشاهده میکنید که مثلثهای $MNC$ و $ABC$ دو زاویهٔ هماندازه دارند و در نتیجه متشابهاند.
$\angle M = \angle B,\angle C = \angle C \Rightarrow \Delta MNC \sim \Delta ABC$
از آنجا با نوشتن نسبت تشابه داریم:
$\frac{{MC}}{{BC}} = \frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{NC}}{{AC}}$
و به جای $MC$، $\frac{{AC}}{2}$ را قرار میدهیم:
$\frac{{AC}}{{2BC}} = \frac{{NC}}{{AC}} \Rightarrow A{C^2} = 2NC.BC = 2NC(NC + NB) \Rightarrow A{C^2} = $
$2 \times 2(2 + 4) = 24 \Rightarrow AC = 2\sqrt 6 $
مثال: در شکل زیر اندازهٔ هر پارهخط روی آن نوشته شده است. اندازهٔ $x$ را بهدست آورید.
حل: به کمک عددهای داده شده، بدیهی است که:
$\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{6}{{12}} = \frac{1}{2}$ و $\frac{{AD}}{{AC}} = ....$ بنابراین: $\frac{{....}}{{....}} = \frac{{....}}{{....}}$ و با توجّه به زاویهٔ مشترک $A$ مثلثهای ....... و ....... متشابهاند. نسبت تشابه را بنویسید و $x$ را بهدست آورید.
سؤال: در شکل، روی $AC$، $AD'$ را هماندازه $AD$ و روی $AB$، $AE'$ را هماندازهٔ $AE$ جدا کنید. چرا $D'E'||BC$؟
اثبات قضیۀ فیثاغورس و روابط طولی دیگر در مثلث قائم الزاویه
فعالیت (صفحه 41 تا 42 کتاب درسی)
1- در مثلث قائمالزاویهٔ $(\hat A = {90^ \circ })ABC$ ارتفاع $AH$ را رسم میکنیم. آیا میتوانید دو زاویهٔ هماندازه را در دو مثلث $ABH$ و $ABC$ نام ببرید؟
$\hat B$$\hat B = $ و $ = {90^\circ }$$A$$\hat H = $
به همین ترتیب دو زاویهٔ هم اندازه از دو مثلث $ACH$ و $ABC$ را نام ببرید. بنابراین میتوانیم بگوییم:
$\hat B = \hat B$ و $\hat H = A = {90^\circ }$
$\Delta ABH \sim \Delta ABC\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\Delta ACH \sim \Delta ABC$
چرا مثلثهای $ABH$ و $ACH$، خودشان با هم متشابهاند؟
با توجه به قسمت (1) داریم: ${A_1} = C$
و با توجه به قسمت (2) داریم: ${A_2} = B$
${H_1} = {H_2} = {90^ \circ }$
میتوان نتیجه گرفت که: $A\mathop C\limits^\vartriangle H \sim A\mathop B\limits^\vartriangle H$
2- نسبت تشابه دو مثلث $ABH$ و $ABC$ را بنویسید:
$BH \times BC$$ \Rightarrow A{B^2} = $$\frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{BH}}{{AB}}$
3- نسبت تشابه دو مثلث $ACH$ و $ABC$ را بنویسید و از آنجا ثابت کنید $AC$ واسطهٔ هندسی $BC$ و $CH$ است.
$\frac{{AB}}{{AH}} = \frac{{AC}}{{HC}} = \frac{{BC}}{{AC}} \Rightarrow A{C^2} = BC.CH$
4- نسبت تشابه دو مثلث $ACH$ و $ABH$ را بنویسید و از آنجا ثابت کنید $AH$ واسطهٔ هندسی بین $BH$ و $CH$ است.
$\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BH}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{HC}} \Rightarrow A{H^2} = CH.BH$
5- از روابط 2 و 3 داریم: (قضیهٔ فیثاغورس)
$ = BC.BC = B{C^2}$$(BH + HC)$$ = BC$$HC$$ + BC \times $$BH$$A{B^2} + A{C^2} = BC \times $
نتیجه
در مثلث قائمالزاویۀ $ABC$ روابط مهم زیر برقرارند. این رابطهها را روابط طولی مینامیم؛ زیرا با اندازههای اضلاع سروکار دارند:
1) $A{B^2} = BC.BH$
2) $A{C^2} = BC.CH$
3) $A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$
4) $A{H^2} = BH.CH$
5) $AH \times BC = AB \times AC$
تمرین (صفحه 42 تا 44 کتاب درسی)
1- در هر یک از شکلهای زیر، تشابه مثلثها را ثابت کنید و از آنجا مقادیر $x,y$ را مشخص کنید:
الف) برابر دو زاویه
$\frac{2}{5} = \frac{3}{x}$
$x = 7/5$
ب) برابری یک زاویه و تناسب اضلاع همان زاویه
$\frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{x}{{6/6}}$
$2x = 6/6$
$x = 2/2$
ج) تناسب سه ضلع
2- در مثلث قائمالزاویهٔ $(\hat A = {90^ \circ })ABC$، ارتفاع $AH$ را رسم کردهایم. به کمک روابط طولی در مثلث قائم الزاویه در هر یک از موارد زیر با توجه به مفروضات داده شده، مقادیر مجهول را محاسبه کنید.
$BH = 9\,\,\,\,,\,\,\,\,CH = 4\,\,\,\,,\,\,\,\,AH = ?\,\,\,\,,\,\,\,\,AB = ?\,\,\,\,,\,\,\,\,AC = ?$ (1
$A{H^2} = BH.CH \Rightarrow A{H^2} = 9 \times 4 = 36 \Rightarrow AH = 6$
$A{B^2} = BC.BH \Rightarrow A{B^2} = 13 \times 9 \Rightarrow AB = 3\sqrt {13} $
$A{C^2} = {(BC)^2} - (A{B^2}) \Rightarrow A{C^2} = {(13)^2} - {(3\sqrt {13} )^2}$
$ \Rightarrow A{C^2} = 13 \times 13 - 9 \times 13 = 4 \times 13 \Rightarrow AC = 2\sqrt {13} $
$AB = 8\,\,\,\,,\,\,\,\,AC = 6\,\,\,\,,\,\,\,\,BH = ?\,\,\,\,,\,\,\,\,CH = ?$ (2
$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \Rightarrow B{C^2} = {6^2} + {8^2}$
$ \Rightarrow B{C^2} = 36 + 64 = 100 \Rightarrow BC = 10$
$A{B^2} = BC.BH$
${(6)^2} = 10 \times BH \Rightarrow BH = 3/6$
$A{C^2} = BC.CH \Rightarrow {8^2} = 10 \times CH \Rightarrow CH = 6/4$
3- در شکل زیر $\angle {A_1} = \angle B$ و $AC = 4$ و $BD = 6$، طول $BC$ را بهدست آورید.
$\begin{array}{*{20}{c}}
{{{\hat A}_1} = \hat E} \\
{C = C}
\end{array} \Rightarrow {D_1} = A \Rightarrow A\mathop D\limits^\Delta C \sim A\mathop D\limits^\vartriangle C$
تناسب زیر را داریم:
$\frac{{DC}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow A{C^2} = C = {D_2} = {B_1} \Rightarrow {\hat B_2} = A$
$A{C^2} = BC.DC\mathop \Rightarrow \limits_{DC = x - 4}^{BC = x} {4^2} = x.(x - 6) \Rightarrow 16 = {x^2} - 6x$
${x^2} - 6x - 160 = 0(x - 8)(x + 2) = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
x - 8 = 0 \Rightarrow x = 8 \hfill \\
x + 2 = 0 \Rightarrow x = - 2 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow BC = 8$
4- در شکل زیر، مثلثی با اضلاع 13 و 14 و 15 رسم شده است. به کمک قضیهٔ فیثاغورس در مثلثهای $ABH$ و $ACH$، مقادیر $x$ و $y$ را بهدست آورید و از آنجا مساحت مثلث را محاسبه کنید.
$A\mathop B\limits^\Delta H:{y^2} + {(14 - x)^2} = {15^2} \Rightarrow {y^2} = {15^2} - {(14 - x)^2}\,\,\,\,\,\,(1)$
$A\mathop C\limits^\Delta H:{y^2} + {x^2} = {13^2} \Rightarrow {13^2} - {x^2}\,\,\,\,\,\,(2)$
از (1) و (2) داریم:
${15^2} - {(14 - x)^2} = {13^2} - {x^2}$
$225 - 196 + 28x - {x^2} = 169 - {x^2}$
$28x = 169 - 29 \Rightarrow 28x = 140$
$x = \frac{{140}}{{28}} = 5$
با جایگذاری مقدار $x$ در رابطهٔ 2 داریم:
${y^2} = {13^2} - {5^2} \Rightarrow {y^2} = 169 - 25 = 144 \Rightarrow y = 12$
مساحت مثلث برابر است با:
$\frac{{12 \times 14}}{2} = 84$
5- در حیاط یک دبیرستان، دو درخت بلند وجود دارد. معلم هندسه از دانشآموزان خواست که برای تعیین ارتفاع این دو درخت روشی را ارائه کنند. در اینجا روشهای دو دانشآموز را میبینید. با توجّه به اطلاعات داده شده ارتفاع هر درخت را تعیین کنید.
الف) روش ترانه: ترانه یک چوب 2/5 متری را به صورت عمودی روی زمین در جایی محکم کرد. طول سایهٔ چوب در آن زمان 1/5 متر بود. همزمان طول سایهٔ درخت 12 متر بود. با توجه به شکل ارتفاع این درخت چند متر است؟
با تشکیل دو مثلث متشابه و کاربرد قضیهٔ تالس میتواند ارتفاع درخت را اندازه بگیرید.
$\frac{x}{{2/5}} = \frac{{12}}{{1/5}} \Rightarrow x = \frac{{12 \times 2/5}}{{1/5}} \Rightarrow x = 20m$
ب) روش شهرزاد: شهرزاد آینهای کوچک را که در مقیاس بزرگ میتوان یک نقطه در نظر گرفت، (نقطهٔ $O$ در شکل) روی زمین و در مسیر خط راستی که از پای درخت تا پای خودش کشیده است، قرار داد؛ سپس روی این خط آنقدر به جلو و عقب حرکت کرد تا بتواند، تصویر نوک درخت را در آینه ببیند. با توجّه به آنچه از خواص آینهها و انعکاس نور میدانید، بگویید چگونه میتوان با داشتن طولهای $AO$ و $BO$ روی زمین و اندازهٔ قد شهرزاد (فاصله چشم او تا زمین)، ارتفاع درخت را بهدست آورد. اگر قد شهرزاد 160 سانتیمتر و فاصلهٔ پای او از آینه 2/5 متر و فاصلهٔ آینه از پای درخت 20 متر باشد، ارتفاع درخت چند متر است؟
با توجه به ویژگی آینهٔ تخت، زاویهٔ بازتاب نور برابر با زاویهٔ تابش آن است. در نتیجه، ${O_1} = {O_2}$. از طرفی زاویههای $B$ و $A$ برابر 90 درجه هستند. با توجه به اینکه مجموع زاویههای داخلی مثلث 180 درجه است، نتیجه میشود:
$C = {180^ \circ } - (A + {O_1}) = {180^ \circ } - (\hat B + {O_2}) = \hat D$
پس دو مثلث $OAC$ و $OBD$ به حالت برابری سه زاویه متشابهاند. پس میتوان با تناسب زیر ارتفاع درخت را بهدست آورد:
$\frac{{OA}}{{OB}} = \frac{{AC}}{{DB}} \Rightarrow \frac{{2/5}}{{20}} = \frac{{1/6}}{x} \Rightarrow x = \frac{{20 \times 1/6}}{{2/5}} = 12/8m$
6- با قضیه فیثاغورس آشنا شدید. این قضیه میگوید اگر زاویهٔ $A$ از مثلثی مانند $ABC$، قائمه باشد، آنگاه ${a^2} = {b^2} + {c^2}$.
الف) عکس این قضیه را بنویسید.
اگر در مثلثی مربع یک ضلع با حاصل جمع مربعات دو ضلع دیگر برابر باشد، آن مثلث قائمالزاویه است، یعنی اگر در مثلث به طول اضلاع $a$ و $b$ و $c$ یکی از رابطههای زیر برقرار باشد: ${c^2} = {a^2} + {b^2}$ $OR$ ${b^2} = {a^2} + {c^2}$ $OR$ ${a^2} = {b^2} = {c^2}$ آنگاه مثلث قائمالزاویه است.
ب) با انجام دادن مراحل زیر نتیجه بگیرید که عکس قضیه فیثاغورس نیز درست است.
1) فرض کنیم مثلث $ABC$ داده شده است و رابطهٔ ${a^2} = {b^2} + {c^2}$ بین اندازهٔ طولهای اضلاع آن برقرار است.
2) پارهخطهای $A'B'$ و $A'C'$ را مطابق شکل زیر به گونهای درنظر بگیرید که $\hat A' = {90^ \circ }$ و $A'C' = AC$ و $A'B' = AB$
3) با استفاده از قضیه فیضاغورس در مثلث $A'B'C'$، اندازهٔ پارهخط $B'C'$ را بهدست آورید و ثابت کنید $B'C' = BC$.
${(B'C')^2} = {(A'B')^2} + {(A'C')^2}\mathop \Rightarrow \limits_{A'C' = b}^{A'B' = C} {(B'C')^2} = {c^2} + {b^2}$
$\mathop \Rightarrow \limits^{{c^2} + {b^2} = {a^2}} {(B'C')^2} = {C^2} = {(BC)^2} \to B'C' = BC$
4) توضیح دهید چرا $A\mathop B\limits^\Delta C \cong A'\mathop {B'}\limits^\Delta C'$، و نتیجه بگیرید $\hat A = {90^ \circ }$.
$\left. \begin{gathered}
\,\,\,\,\,AB = A'B' \\
\,\,\,\,AC = A'C' \\
HBC = B'C' \\
\end{gathered} \right\}\mathop {ABC}\limits^\Delta \cong \mathop {A'B'C'}\limits^\Delta \Rightarrow A = A' = {90^ \circ }$
ج) قضیه فیثاغورس و عکس آن را بهصورت یک قضیهٔ دو شرطی بیان نمایید.
مثلث $ABC$ یک مثلث قائمالزاویه است اگر و تنها اگر مربع یک ضلع با حاصل جمع مربعات دو ضلع دیگر برابر باشد.